Question

已知二次曲線C_k的方程：

x2

9-k

+

y2

4-k

=1．
（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；
（2）對于點P（-1，0），是否存在曲線C_k交直線y=x+1于A、B兩點，使得

AB

=-2

BP

？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；
（3）已知C_k與直線y=x+1有公共點，求其中實軸最長的雙曲線方程．

Answer 1

分析：（1）當且僅當

9-k＞0 4-k＞0

時，方程表示橢圓；當且僅當（9-k）（4-k）＜0，方程表示雙曲線．
（2）聯(lián)立

(4-k)x2+(9-k)y2=(9-k)(4-k) y=x+1

，得：（13-2k）x²+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0有兩個實根，△=4（9-k）•2（k-4）（k-6）＞0⇒k＜4或6＜k＜9．由此能夠導出k不存在．
（3）因為c_k為雙曲線，所以4＜k＜9，由△≥0，可得6≤k＜9．由此能求出實軸最長的雙曲線方程．

解答：解：（1）當且僅當

9-k＞0 4-k＞0

即 k＜4時，方程表示橢圓；--------------------------（2分）
當且僅當（9-k）（4-k）＜0，即4＜k＜9時，方程表示雙曲線．---------------------（4分）
（2）聯(lián)立

(4-k)x2+(9-k)y2=(9-k)(4-k) y=x+1

得：（13-2k）x²+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0有兩個實根-----------------------------（6分）
△=4（9-k）•2（k-4）（k-6）＞0⇒k＜4或6＜k＜9----------------（8分）
設：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AB

=-2

BP

，
得到

x1+x2=-2 y1+y2=0

----------------（10分）
⇒

-2(9-k)

13-2k

=-2，
得到 k=4，所以k不存在-----------------------------------（12分）
（3）因為c_k為雙曲線，所以4＜k＜9由△≥0，可得6≤k＜9--------------------------（15分）
雙曲線實軸2a=9-k≤3，所以最長時k=6，此時雙曲線方程為

x2

3

-

y2

2

=1---（18分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．