Question

19．已知函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx+8在x=1及x=2處取得極值．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值點(diǎn)，列出方程組，求解a，b即可．
（2）利用函數(shù)的極值點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）由已知函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx+8，
可得f′（x）=6x²+6ax+3b
因?yàn)閒（x）在x=1及x=2處取得極值，所以1和2是方程f′（x）=6x²+6ax+3b=0的兩根，
故$\left\{\begin{array}{l}6+6a+3b=0\\ 24+12a+3b=0\end{array}\right.$
解得：a=-3、b=4．
（2）由（1）可得f（x）=2x³-9x²+12x+8，
可得 f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）
當(dāng)x＜1或x＞2時，f′（x）＞0，f（x）是增加的；
當(dāng)1＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）是減少的．
所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1）和（2，+∞），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（1，2）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力．