Question

如圖，某小區(qū)有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個(gè)游泳池，計(jì)劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊AE相切的直路l（寬度不計(jì)），切點(diǎn)為M，并把該地塊分為兩部分．現(xiàn)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若池邊AE滿足函數(shù)y=-

1

2

x2+2(0≤x≤2的圖象，且點(diǎn)M到邊OA距離為t（0＜t＜2）．
（Ⅰ）當(dāng)t=

1

2

時(shí)，求直路l所在的直線方程；
（Ⅱ）當(dāng)t為何值時(shí)，地塊OABC在直路l不含泳池那側(cè)的面積取到最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）求當(dāng)t=

1

2

時(shí)，直路l所在的直線方程，即求拋物線y=-

1

2

x2+2在x=

1

2

時(shí)的切線方程，利用求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到切線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式寫切線方程；
（Ⅱ）求出x=t時(shí)的拋物線y=-

1

2

x2+2的切線方程，進(jìn)一步求出切線截正方形在直線右上方的長度，利用三角形面積公式寫出面積，得到的面積是關(guān)于t的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析面積函數(shù)在（0＜t＜2）上的極大值，也就是最大值．

解答：解：（I）∵y=-

1

2

x2+2，∴y′=-x，
∴過點(diǎn)M（t，-

1

2

t2+2）的切線的斜率為-t，
所以，過點(diǎn)M的切線方程為y-(-

1

2

t2+2)=-t(x-t)，即y=-tx+

1

2

t2+2．
當(dāng)t=

1

2

時(shí)，切線l的方程為y=-

1

2

x+

17

8

．
即當(dāng)t=

1

2

時(shí)，直路l所在的直線方程為y=-

1

2

x+

17

8

；
（Ⅱ）由（I）知，切線l的方程為y=-tx+

1

2

t2+2，
令y=2，得x=

t

2

，故切線l與線段AB交點(diǎn)為F（

t

2

，2），
令x=2，得y=

1

2

t2-2t+2，故切線l與線段BC交點(diǎn)為G（2，

1

2

t2-2t+2）．
地塊OABC在切線l右上部分為三角形FBG，如圖，

設(shè)其面積為f（t），
∴f(t)=

1

2

|FB||BG|=

1

2

(2-

1

2

t)(-

1

2

t2+2t)
=

1

8

t3-t2+2t（0＜t＜2）．
f′(t)=

3

8

t2-2t+2=

1

8

(t-4)(3t-4)，
∴當(dāng)t∈（0，

4

3

）時(shí)，f′（t）＞0，f（t）為單調(diào)增函數(shù)，
當(dāng)t∈(

4

3

，2)時(shí)，f′（t）＜0，f（t）為單調(diào)減函數(shù)．
∴當(dāng)t=

4

3

時(shí)，f（t）的極大值（最大值）為f(

4

3

)=

1

8

×(

4

3

)3-(

4

3

)2+2×

4

3

=

32

27

．
∴當(dāng)點(diǎn)M到邊OA距離為

400

3

米時(shí)，地塊OABC在直路l不含游泳池那側(cè)的面積最大，最大值為

320000

27

平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，在實(shí)際問題中，函數(shù)在定義域內(nèi)僅含一個(gè)極值，該極值往往就是最值．屬中檔題型．