Question

已知函數(shù)f（x）=4x-k（x²+2clnx）（c＞1，k∈R）有一個極值點是1．
（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（II）當(dāng)c＞1時，記f（x）的極大值為M（c），極小值為N（c），對于t∈R，問函數(shù)h(c)=M(c)-

1

2

N(c)-

2c+t

c+1

是否存在零點？若存在，請確定零點個數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f（x）=4x-k（x²+2clnx）（c＞1，k∈R）有一個極值點是1．根據(jù)函數(shù)在某點取得極值的條件，可得1是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=4-k（2x+

2c

x

）的一個根，由此求出函數(shù)的另一個極值點后，即可討論得出函數(shù)的單調(diào)性．
（II）由（I）的結(jié)論，我們可得f（x）在x=c時取極大值，在x=1時取極小值，即=f（c）=4c-k（c²+2clnc），N=f（1）=4-k，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較 M-

1

2

N與

2c+1

c+1

的大小，從而得出函數(shù)h(c)=M(c)-

1

2

N(c)-

2c+t

c+1

是否存在零點．

解答：解：（I）由已知中k≠0
∵f（x）=4x-k（x²+2clnx）（c＞1，k∈R）
∴f′（x）=4-k（2x+

2c

x

）=

-2k x2-2ck+4x

x

∵函數(shù)f（x）=有一個極值點是1．
∴f′（1）=0
∴c=

2

k

-1
令f′（x）=0，即-2kx²-2ck+4x=0，即2kx²-4x+2ck=0
∵此方程的一個根為1，
∴另一個根為c
∵c＞1，即0＜k＜1
∴函數(shù)f（x）在（1，c）上為增函數(shù)，在（0，1），（c，+∞）上為減函數(shù)
（II）由（I）知f（x）在x=c時取極大值，在x=1時取極小值
∴M=f（c）=4c-k（c²+2clnc），N=f（1）=4-k，其中

2

k

-1=c
∴M-

1

2

N=4c-

4clnc

c+1

-2+

1

c+1

∴M-

1

2

N-

2c+1

c+1

=

2c2-2-4clnc

c+1

令g（c）=c²-1-2clnc，則g′（c）=2c-（2lnc+2）=2（c-1-lnc）
再令h（c）=c-1-lnc，則h′（c）=1-

1

c

=

c-1

c

∵c＞1，∴h′（c）＞0
∴函數(shù)h（c）在（1，+∞）上為增函數(shù)
∴h（c）＞h（1）=0
∴g′（c）＞0，
∴函數(shù)g（c）在（1，+∞）上為增函數(shù)
∴g（c）＞g（1）=0
∴M-

1

2

N-

2c+1

c+1

＞0
∴M-

1

2

N＞

2c+1

c+1

．
∴函數(shù)h(c)=M(c)-

1

2

N(c)-

2c+t

c+1

不存在零點．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，并分析出函數(shù)的單調(diào)性及極值點等信息，是解答本題的關(guān)鍵．