橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上兩點(diǎn)A，B與中心O的連線互相垂直，則
1
|OA|2
+
1
|OB|2
=
 
．
分析：可利用直線OA，OB方程與橢圓方程聯(lián)立求A，B點(diǎn)坐標(biāo)滿足的一元方程，進(jìn)而求出A，B的橫縱坐標(biāo)的平方，代入
1
|OA|2
+
1
|OB|2
化簡(jiǎn)即可．
解答：解：設(shè)當(dāng)直線OA斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)方程為y=kx，
∵A，B分別為橢圓上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB．∴直線OB方程為y=-
1
K
x
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），把y=kx代入
x2
a2
+
y2
b2
=1得 X12=
a2b2
b2+a2k2
，∴y12=
k2a2b2 
b2+a2k2
．
把y=-
1
k
x代入
x2
a2
+
y2
b2
=1得   x22=
a2b2k2 
a2+b2k2
，∴y22=
a2 b2
a2+b2k2
．
∴
1
|OA|2
+
1
|OB| 2
=
1
x12+y12
+
1
x22+y22 
=
1
a2b2
b2+a2k2
+
k2a2b2
b2+a2k2
+
1
a2b2k2
a2+b2k2
+
a2b2
a2+b2k2
=
a2+b2
a2b2
．
當(dāng)直線OA，OB其中一條斜率不存在時(shí)，則另一條斜率為0此時(shí)
1
|OA|2
+
1
|OB|2
=
a2+b2
a2b2
．
綜上，
1
|OA|2
+
1
|OB|2
=
a2+b2
a2b2
．
故答案為：
a2+b2
a2b2
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵在于整理過(guò)程不能出錯(cuò)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過(guò)點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過(guò)點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF1的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè) A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點(diǎn)M在橢圓上；
（3）若點(diǎn)P、Q為橢圓 上的兩點(diǎn)，且
PQ
∥
OB
，試問(wèn)：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請(qǐng)加以證明；若不能平分，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案