已知a、b為常數(shù)，且a≠0，y=f（x）=ax2+bx，且f（2）=0，并使方程f（x）=x有等根，
（1）求f（x）的解析式
（2）是否存在實數(shù)m、n，（m＜n）使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]？
【答案】分析：（1）由于方程f（x）=x有等根，所以可求b=1，利用f（2）=0可求，故函數(shù)解析式可求；
（2）利用函數(shù)的最大值可知f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，從而可建立方程組，故滿足條件的m，n存在．
解答：解：（1）∵方程ax2+bx-x=0有等根，∴△=（b-1）2=0，得b=1．
∵f（2）=0，∴，∴f（x）的解析式為；
（2）∵，∴，∴，∴f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，
若滿足題設(shè)條件的m，n存在，則，∴即這時定義域為[-2，0]，值域為[-4，0]．
由以上知滿足條件的m，n存在，m=-2，n=0．
點評：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運用，還考查了二次函數(shù)解析式的運用以，涉及分類討論，轉(zhuǎn)化思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（I）求實數(shù)b的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（III）當(dāng)a=1時，是否同時存在實數(shù)m和M（m＜M），使得對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[
1e
，e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數(shù)m和最大的實數(shù)M；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a、b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=
x
ax+b
，且f（3）=1，又方程f（x）=x有唯一解．
（I）求f（x）的解析式及方程f（x）=x的解；
（Ⅱ）當(dāng)xn=f（xn-1）（n＞1），數(shù)列{
1
xn
}是何數(shù)列？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2
（1）求實數(shù)b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=1時，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[
1e
，e]））有公共點，求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•河?xùn)|區(qū)一模）已知a、b為常數(shù)，且
lim
x→1
x+a
-b
x-1
=
1
4
，則ab=
6
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•河?xùn)|區(qū)二模）已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求實數(shù)b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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