Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1），若a是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，b是從1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，那么f（x）＞b恒成立的概率為（　�。�

• A．

  9

  15

• B．

  7

  15

• C．

  2

  5

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：先把f（x）的解析式變形，用分離常數(shù)法，然后用均值不等式求出最小值，本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生
包含的所有事件有15個(gè)，滿足條件的事件有9個(gè)，列舉出結(jié)果，從而求得f（x）＞b恒成立的概率．

解答：解：∵x＞1，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax+

x

x-1

=ax+

x-1+1

x-1

=ax+1+

1

x-1

 
=a（x-1）+

1

x-1

+a+1≥2

a

+a+1=(

a

+1)2，當(dāng)且僅當(dāng)a（x-1）=

1

x-1

 時(shí)，等號成立．
故 f（x）min=(

a

+1)2．
于是f（x）＞b恒成立就轉(zhuǎn)化為  (

a

+1)2＞b，
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=1+

1

x-1

＞1，由f（x）＞b恒成立可得，只有b=1．
設(shè)事件A：“f（x）＞b恒成立”，則基本事件總數(shù)（a，b）為15個(gè)：
即（0，1），（0，2），（0，3），（0，4）；（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），
（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）．
事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），
（2，4），（2，5），共9個(gè)，
由古典概型得P（A）=

9

15

=

3

5

，
故選 A．

點(diǎn)評：在使用古典概型的概率公式時(shí)，應(yīng)該注意：（1）要判斷該概率模型是不是古典概型；（2）要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)；當(dāng)解析式中含有分式，且分子分母是齊次的，注意運(yùn)用分離常數(shù)法來進(jìn)行式子的變形，在使用均值不等式應(yīng)注意一定，二正，三相等，屬于基礎(chǔ)題．