Question

已知實系數(shù)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c對任何-1≤x≤1，都有|f（x）|≤1．
（1）若f（x）=2x²-1，g′（x）=f（x），且g（0）=0，數(shù)列{a_n}滿足a_n=g（a_n-1），問數(shù)列{a_n}能否構(gòu)成等差數(shù)列，若能，請求出滿足條件的所有等差數(shù)列；若不能，請說明理由；
（2）求|a|+|b|+|c|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)g（x）=dx³+ex²+hx+k，則g′（x）=3dx²+2ex+h=2x²-1，所以，由g（0）=0，知，．由此能求出求出滿足條件的所有等差數(shù)列．
（2）f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，三者都屬于[-1，1]，設(shè)w=|a|+|b|+|c|，不妨設(shè)a＞0，再進行分類討論能求出|a|+|b|+|c|的最大值．
解答：解：（1）設(shè)g（x）=dx³+ex²+hx+k，
則g′（x）=3dx²+2ex+h=2x²-1，
∴3d=2，2e=0，h=-1，
∴，
又g（0）=0，
∴k=0，
∴，
若數(shù)列{a_n}構(gòu)成等差數(shù)列，
可設(shè)a_n=un+v，u，v為常數(shù)，
∵a_n=g（a_n-1），
∴a_n+1=g（a_n），
∴v+（*），
當u=0時，（*）簡化為，
由此解得：，
所以數(shù)列{a_n}能構(gòu)成等差數(shù)列：
①0，0，0，…；②，…；③．（4分）
（2）f（0）=c，
f（1）=a+b+c，
f（-1）=a-b+c，
三者都屬于[-1，1]，
設(shè)w=|a|+|b|+|c|，不妨設(shè)a＞0，
①b，c≥0時，w=a+b+c=f（1）＜=1；
②b，c＜0時，w=a-b-c=f（-1）-2f（0）≤3；
③b≥0＞c時，w=a+b-c=f（1）-2f（0）≤3；
④c≥0＞b時，w=a-b+c=f（-1）≤1．
當a=2，b=0，c=-1時f（x）=2x²2-1滿足題設(shè)，w=3．
∴所求最大值為3．
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關(guān)系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意計算能力的培養(yǎng)．