Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²-2x+a（a≠0）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若不等式f（x）＞0無(wú)解，求a的取值范圍；
（3）若不等式f（x）≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到；
（2）對(duì)a討論，①當(dāng)a=0時(shí)，②當(dāng)a≠0時(shí)，則需

a＜0 △=4-4a2≤0

，解出不等式，求并集即可；
（3）不等式為：ax²-2x+a＞0，即a＞

2x

x2+1

，因?yàn)樵摬坏仁綄?duì)x∈（0，+∞）恒成立，只要求出右邊的最大值即可，注意運(yùn)用基本不等式．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，不等式為-x²-2x-1＜0，
即（x+1）²＞0，所以x≠-1，
所以所求不等式的解集為{x|x≠-1}；
（2）不等式為：ax²-2x+a＞0．
①當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解為：x＜0，不合題意；
②當(dāng)a≠0時(shí)，則需

a＜0 △=4-4a2≤0

，所以a≤-1．
綜合得a≤-1；
（3）不等式為：ax²-2x+a＞0，即a＞

2x

x2+1

，
因?yàn)樵摬坏仁綄?duì)x∈（0，+∞）恒成立，
所以a＞(

2x

x2+1

)max，
因?yàn)?span id="mkba2ah" class="MathJye">

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，
所以a的取值范圍為a≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和二次不等式的解法，考查不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，屬于中檔題．