Question

已知f（x）=lg（x²-mx+2m-1），m∈R
（Ⅰ）當(dāng)m=0時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的值域是[lg2，+∞），求m的值；
（Ⅲ）若x∈[0，1]時不等式f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)m=0時，f（x）=lg（x²-1），設(shè)t=x²-1，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，t=x²-1遞增，而當(dāng)t＞0時，y=lgt遞增
所以f（x）的遞增區(qū)間是（1，+∞）…
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的值域是[lg2，+∞），依題意得t=x²-mx+2m-1的最小值是2，
解得m=2或m=6…
（Ⅲ）法一：當(dāng)x∈[0，1]時，將x²-mx+2m-2＞0分離變量后得到
令，則，
令g′（x）=0得…∴當(dāng)時g′（x）＞0，當(dāng)時g′（x）＜0
而時取得最大值，∴m＞…
法二：依題意得：x²-mx+2m-2＞0，令h（x）=x²-mx+2m-2，軸是
（1）當(dāng)時，則有f（0）=2m-2＞0，解得m∈Φ；
（2）當(dāng)時，則有△=m²-8m+8＞0，解得；
（3）當(dāng)時，則有f（1）=m-1＞0，解得m＞2
綜上所求，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（，+∞）
法三：將x²-mx+2m-2＞0移項(xiàng)得x²＞mx-2m+2，設(shè)，f₂（x）=mx-2m+2，
則f₁（x）、f₂（x）的圖象分別為右圖所示的一段拋物線和直線，要使對一切x∈[0，1]，f₁（x）＞f₂（x）恒成立，即要使得x∈[0，1]時，拋物線
段總在直線段的上方，因?yàn)橹本�恒過定點(diǎn)（2，2），可觀察
圖象得：直線的斜率必須大于相切時的斜率值，而相
切時的斜率可用判別式或?qū)��?shù)易求得為，
所以．…
分析：（Ⅰ）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的增區(qū)間．（Ⅱ）利用函數(shù)的值域是[lg2，+∞），確定m的數(shù)值．
（Ⅲ）不等式f（x）＞0恒成立，實(shí)質(zhì)是求當(dāng)x∈[0，1]時，函數(shù)f（x）的最值．
點(diǎn)評：本題考查了與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，對應(yīng)復(fù)合函數(shù)可以通過換元法來進(jìn)行轉(zhuǎn)化．