Question

若f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有f（x+8）=-f（-2-x），且x＞3時(shí)，f（x）=x²-7x+4．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）若φ(x)=2lnx-x2+(5-

1

a

)x，h(x)=φ(x)-f(x)，當(dāng)x＜3時(shí)，求h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x+8）=-f（-2-x），可得f（x）=-f（6-x），當(dāng)x=3時(shí)，f（3）=0，當(dāng)x＜3時(shí)，6-x＞3，f（x）=-f（6-x）=-[（6-x）²-7（6-x）+4]=-x²+5x+2，從而可得函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)x＜3時(shí)，h(x)=2lnx-x2+(5-

1

a

)x+x2-5x-2=2lnx-

1

a

x-2，求導(dǎo)函數(shù)可得h′（x）=

2

x

-

1

a

=

2a-x

ax

(a≠0)，定義域?yàn)椋?，3），利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得結(jié)論．

解答：解：（1）f（x+8）=-f（-2-x），∴以x+8代x可得f（x）=-f（6-x），
當(dāng)x=3時(shí)，f（3）=-f（3），∴f（3）=0
當(dāng)x＜3時(shí)，6-x＞3，∴f（x）=-f（6-x）=-[（6-x）²-7（6-x）+4]=-x²+5x+2，
綜上：f(x)=

x2-7x+4，x＞3 0，            x=3 -x2+5x+2，x＜3

（2）當(dāng)x＜3時(shí)，h(x)=2lnx-x2+(5-

1

a

)x+x2-5x-2=2lnx-

1

a

x-2，
求導(dǎo)函數(shù)可得h′（x）=

2

x

-

1

a

=

2a-x

ax

(a≠0)，定義域?yàn)椋?，3）
當(dāng)a＜0時(shí)，h′（x）＞0恒成立，
當(dāng)0＜a≤

3

2

時(shí)，由h′（x）＞0得0＜x＜2a；當(dāng)a＞

3

2

時(shí)，x∈（0，3），恒有h′（x）＞0
綜上：當(dāng)a＜0或a＞

3

2

時(shí)，h（x）的增區(qū)間為（0，3）；當(dāng)0＜a≤

3

2

時(shí)，h（x）的增區(qū)間為（0，2a）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義、性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)區(qū)間以及分類討論的思想．