Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）試判斷是否存在實數(shù)a（a≥1），使y=f（x）的圖象與直線無公共點（其中自然對數(shù)的底數(shù)為無理數(shù)且=2.71828…）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）＞0，f′（x）＞0即可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間，由于導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)a，故要解不等式需討論a的正負；
（2）先利用（1）中的結(jié)論，求a≥1時函數(shù)f（x）的最小值g（a），再利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)g（a）的最大值大于1+ln，從而說明存在實數(shù)a（a≥1）使f（x）的最小值大于，從而證明存在實數(shù)a（a≥1），使y=f（x）的圖象與直線無公共點．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定義域是（1，+∞）．，
①若a≤0，則在（1，+∞）上恒成立，
∴a≤0時，f（x）的增區(qū)間為（1，+∞）
②若a＞0，則，故當時，；當時，，
∴a＞0時，f（x）的減區(qū)間為的增區(qū)間為．
（2）a≥1時，由（1）可知，f（x）在（1，+∞）上的最小值為．
設(shè)，（ a≥1）
則，
∵在[1，+∞）上為減函數(shù)，∴g′（a）
∴在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（a）_max=g（1）=+ln2，
∵+ln2-1-ln=ln＞0，∴g（a）_max＞1+ln
∴存在實數(shù)a（a≥1）使f（x）的最小值大于，
故存在實數(shù)a（a≥1），使y=f（x）的圖象與直線無公共點．
點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值的方法，分類討論和轉(zhuǎn)化化歸的思想方法