Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（1）若E為PD的中點，求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（2）在BC上是否存在一點G，使得D到平面PAG的距離為1？若存在，求出BG；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，
建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），
E（0，1，），P（0，0，1），
，，，
，
（1）∵cos==，
所求異面直線AE與PC所成角的余弦值為 …（6分）
（2）假設存在，設BG=x，則G（1，x，0），
作DQ⊥AG，則DQ⊥平面PAG，即DG=1，
∵2S_△ADG=S_ABCD，
∴，∴AG==2?x=，
故存在點G，當BG=時，D到平面PAG的距離為1．…．（12分）
分析：以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，推出A，B，C，D，E，P坐標
（1）利用cos=，求異面直線AE與PC所成角的余弦值．
（2）假設存在，設BG=x，則G（1，x，0），作DQ⊥AG，利用2S_△ADG=S_ABCD，求出x值，說明存在點G滿足題意．
點評：本題考查用空間向量求直線間的夾角、距離，點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力，計算能力．