Question

如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E是PA的中點(diǎn)．

(1)求證平面BDE⊥平面ABCD．

(2)求點(diǎn)E到平面PBC的距離．

(3)求二面角A－EB－D的平面角大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)設(shè)O是AC，BD的交點(diǎn)，連結(jié)EO． 　　∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中點(diǎn)， 　　∵E是PA的中點(diǎn)，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD， 　　∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD． 　　(2)EO∥PC，PC平面PBC， 　　∴EO∥平面PBC，于是點(diǎn)O到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離．作OF⊥BC于F， 　　∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的長等于O到平面PBC的距離． 　　由條件可知，OB＝，OF＝×＝a，則點(diǎn)E到平面PBC的距離為a． 　　(3)過O作OG⊥EB于G，連接AG 　　∵OE⊥AC，BD⊥AC 　　∴AC⊥平面BDE 　　∴AG⊥EB(三垂線定理) 　　∴∠AGO是二面角A－EB－D的平面角 　　∵OE＝PC＝a，OB＝a 　　∴EB＝a． 　　∴OG＝＝a　又AO＝a． 　　∴tan∠AGO＝＝ 　　∴∠AGO＝arctan． 　　說明：處理翻折問題，只要過不在棱上的點(diǎn)作棱的垂直相交的線段，就可以化成基本題

提示：

本題考查了面面垂直判定與性質(zhì)，以及利用其性質(zhì)求點(diǎn)到面距離，及二面角的求法，三垂線定理及逆定理的應(yīng)用．