Question

如圖正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0＜a＜

2

）
（1）求MN的長；
（2）a為何值時，MN的長最��？并求出最小值．
（3）當MN的長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角α的余弦值．（用空間向量方法解答）

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立坐標系，求出

MN

=

BN

-

BM

=（0，

a

2

，

a

2

-1），即可求出MN的長；
（2）利用配方法，即可求出最小值．
（3）取MN的中點G，連接AG，BG，則∠AGB為面MNA與面MNB所成的二面角的平面角，求出

GA

，

GB

，利用向量的夾角公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）建立如圖所示的坐標系，則A（1，0，0），C（0，0，1），E（0，1，0），F(xiàn)（1，1，0），則

BM

=

BC

+

CM

=

BC

+

a

2

CA

=（

a

2

，0，1-

a

2

），

BN

=

a

2

BF

=（

a

2

，

a

2

，0），
∴

MN

=

BN

-

BM

=（0，

a

2

，

a

2

-1），
∴|

MN

|=

a2- 2 a+1

（0＜a＜

2

）；
（2）由（1）知，|

MN

|=

a2- 2 a+1

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

，
∴a=

2

2

時，MN的長最小，最小值為

2

2

．
（3由（2）知M，N分別是AC，BF的中點，
取MN的中點G，連接AG，BG，則∠AGB為面MNA與面MNB所成的二面角的平面角，
∵M（0.5，0，0.5），N（0.5，0.5，0），
∴G（0.5，0.25，0.25），
∴

GA

=（0.5，-0.25，-0.25），

GB

=（-0.5，-0.25，-0.25），
∴cos＜

GA

，

GB

＞=-

1

3

，
∴面MNA與面MNB所成的二面角α的余弦值為-

1

3

．

點評：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力．