Question

已知橢圓C的焦點(diǎn)為F₁（-1，0）、F₂（1，0），點(diǎn)P(-1，

2

2

)在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若拋物線y²=2px（p＞0）與橢圓C相交于點(diǎn)M、N，當(dāng)△OMN（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積取得最大值時(shí)，求p的值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義及參數(shù)a，b，c的關(guān)系即可得出；
（2）利用橢圓和拋物線的對(duì)稱性，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出三角形的面積，利用基本不等式的性質(zhì)及點(diǎn)在橢圓上即可得出．

解答：解：（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵2a=|PF₁|+|PF₂|=

0+( 2 2 )2

+

22+( 2 2 )2

=2

2

，∴a=

2

，c=1，∴b=

a2-c2

=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）根據(jù)橢圓和拋物線的對(duì)稱性，設(shè)M（x₀，y₀）、N（x₀，-y₀）（x₀，y₀＞0），
△OMN的面積S=

1

2

x0×(2y0)=x0y0，
∵M(jìn)（x₀，y₀）在橢圓上，∴

x02

2

+y02=1，
∴1=

x02

2

+y02≥2

x02 2 •y02

=

2

x0y0，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

x0

2

=y0時(shí)成立，
解

x02 2 +y02=1 x0 2 =y0

（x₀，y₀＞0）得

x0=1 y0= 2 2

，M（x₀，y₀）即M(1，

2

2

)．
∵點(diǎn)M在拋物線y²=2px上，∴(

2

2

)2=2p×1，解得p=

1

4

．
∴p=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：熟練正確圓錐曲線的定義及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．