Question

在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點，設異面直線AE與BF所成角的大小為α，則cosα=

1

3

．

Answer 1

分析：先建立空間直角坐標系，根據(jù)所建坐標系找到各定點坐標，求出向量

AE

與

BF

的坐標，用空間向量的夾角公式求出兩個向量的夾角的余弦值，再結合實際情況判斷異面直線AE與BF所成角恰好為向量

AE

與

BF

的夾角的余弦值，即可求出cosα．

解答：解：過P向底面ABCD作垂線，垂足為O，以OA所在直線為x軸，
OB所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，
設AB=

2

，則OA=OB=1，∵PA=AB，∴PO=1，
∴A（1，0，0），B（0，1，0），E（0，

1

2

，

1

2

），F(xiàn)（-

1

2

，0，

1

2

）
∴

AE

=（-1，

1

2

，

1

2

），

BF

=（

1

2

，-1，

1

2

）
∴cos＜

AE

，

BF

＞=

AE • BF

| AE |  | BF |

=

- 1 2 - 1 2 + 1 2 × 1 2

1+ 1 4 + 1 4 1 4 +1+ 1 4

=-

1

3

∵異面直線AE與BF所成角為銳角，∴cosα=-cos＜

AE

，

BF

＞=

1

3

故答案為

1

3

點評：本題主要考查正四棱錐中異面直線所成角的求法，利用空間向量的知識來解，思路比較好找，注意建坐標系要適當．