已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)M
(0,-2)
、N
(0,2)
,P為一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足
MP
MN
=
|
PN
|•|
MN
|

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)若A、B是軌跡C上的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)
AN
NB
.分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切線,設(shè)其交點(diǎn)為Q,證明
NQ
AB
為定值.
(I)設(shè)P(x,y).
由已知
MP
=(x,y+2),
MN
=(0,4),
PN
=(-x,2-y)
,
MP
MN
=4y+8.

|
PN
|•|
MN
|=4
x2+(y-2)2
(3分)
MP
MN
=|
PN
|•|
MN
|

∴4y+8=4
x2+(y-2)2
整理,得x2=8y
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為拋物線,其方程為x2=8y.(6分)
(II)由已知N(0,2).
設(shè)A(x1y1),B(x2,y2).由
AN
NB

即得(-x1,2-y1)=λ(x2,y2-2)
-x1x2
2-y1=λ(y2-2)

將(1)式兩邊平方并把x12=8y1,x22=8y2代入得y12y2(3分)
解(2)、(3)式得y1=2λ,y2=
2
λ

且有x1x2=-λx22=-8λy2=-16.(8分)
拋物線方程為y=
1
8
x2,求導(dǎo)得y′=
1
4
x

所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是
y=
1
4
x1(x-x1)+y1,y=
1
4
x2(x-x2)+y2
,
即y=
1
4
x1x-
1
8
x21
,y=
1
4
x2x-
1
8
x22

解出兩條切線的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(
x1+x2
2
,
x1x2
8
)=(
x1+x2
2
,-2)
(11分)
所以
NQ
AB
=(
x1+x2
2
,-4)•(x2-x1,y1-y2)

=
1
2
(
x22
-
x21
)-4(
1
8
x22
-
1
8
x21
)=0

所以
NQ
AB
為定值,其值為0.(13分)
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)M
(0,-2)
、N
(0,2)
,P為一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足
MP
MN
=
|
PN
|•|
MN
|

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)若A、B是軌跡C上的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)
AN
NB
.分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切線,設(shè)其交點(diǎn)為Q,證明
NQ
AB
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044

已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)AB之間的距離為2a,點(diǎn)MA、B兩點(diǎn)的距離之比為21,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044

已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)AB之間的距離為2a,點(diǎn)MA、B兩點(diǎn)的距離之比為21,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044

已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)A、B之間的距離為2a,點(diǎn)MA、B兩點(diǎn)的距離之比為2∶1,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。

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