Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且（n∈N^*）．數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b₂=a₂，b₂₀=a₄．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和T_n；若不等式T_n＞log_ax（a＞0且a≠1）對一切n∈N^*恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，①當n≥2時，，②
兩式相減得，即a_n=3a_n-1-2．當n≥2時，為定值，
由，令n=1，得a₁=-2．所以數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，公比是3，首項為-3．
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=1-3ⁿ．（4分）
（Ⅱ）∴b₂=-8，b₂₀=-80．由{b_n}是等差數(shù)列，求得b_n=-4n．
=，
而，相減得，
即，則．�。�8分）
∵，
故{Tn}遞增∴當n∈N^*時，T_n的最小值為（10分）
∵不等式T_n＞log_ax（a＞0且a≠1）對一切n∈N^*恒成立∴．
故當a＞1時，0＜x；（11分）當0＜a＜1時，．（12分）
分析：（Ⅰ）由，知，兩式相減得，由此能夠導出數(shù)列{a_n-1}是公比是3，首項為-3的等比數(shù)列．從而能夠得到數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由{b_n}是等差數(shù)列，求得b_n=-4n．=，再由錯位相減法能夠得到數(shù)列的前n項和T_n．
由，知{Tn}遞增，且T_n的最小值為．由不等式T_n＞log_ax（a＞0且a≠1）對一切n∈N^*恒成立，知．由此能求出實數(shù)x的取值范圍．
點評：本題考查數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地運用錯位相減法進行解題．