如圖，在長方形ABCD中，AB=
2
6
3
，AD=
3
3
，O為AB的中點，若P是線段DO上動點，則(
PA
+
PB
)•
PD
的最小值是
-
1
2
-
1
2
．
分析：由兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義可得，要求的式子即-2|
PO
|•|
PD
|．|
PO
|+|
PD
|=|
DO
|=1，再利用基本不等式求得|
PO
|•|
PD
|≤
1
4
，
從而求得-2|
PO
|•|
PD
|的最小值．
解答：解：由題意可得 (
PA
+
PB
)•
PD
=2
PO
•
PD
=-2|
PO
|•|
PD
|．
由于|
PO
|+|
PD
|=|
DO
|=
|
AO
|2+|
AD
|2
=
6
9
+
1
3
=1，且|
PO
|+|
PD
|≥2
|
PO
|•| 
PD
|
，當且僅當|
PO
|=|
PD
|時取等號．
∴|
PO
|•|
PD
|≤
1
4
，∴-2|
PO
|•|
PD
|≥-
1
2
，∴(
PA
+
PB
)•
PD
的最小值是-
1
2
，
故答案為-
1
2
．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，基本不等式的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC（端點除外）上一動點，現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD內(nèi)過點D作DK⊥AB，K為垂足，設AK=t，則t的取值范圍是
 
．
精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)若一個n面體有m個面時直角三角形，則稱這個n面體的直度為
mn
，如圖，在長方形ABCD-A1B1C1D1中，四面體A1-ABC的直度為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在長方形ABCD中，AB=
3
，BC=1，E為線段DC上一動點，現(xiàn)將△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED內(nèi)過點D作DK⊥AE，K為垂足，當E從D運動到C，則K所形成軌跡的長度為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在長方形ABCD中，AB=
3
，BC=1，E為線段DC上一動點，現(xiàn)將△AED沿AE折起，使點D在面ABC上的射影K在直線AE上，當E從D運動到C，則K所形成軌跡的長度為
π
3
π
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在長方形ABCD中，AB=4，BC=2．現(xiàn)將△ACD沿AC折起，使平面ABD⊥平面ABC，設E為AB中點，則異面直線AC和DE所成角的余弦值為
5
5
5
5
．

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