Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D為AC中點．
（Ⅰ）求證：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）在棱CC₁上是否存在點E，使二面角．E-A₁B-B₁的正切值為2

2

，若存在，確定點E的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，只要證明B₁C₁與平面ABB₁A₁內的兩條相交直線BB₁，A₁B垂直即可．而B₁C₁與A₁B垂直 可通過證明A₁B⊥平面AB₁C₁來實現．
（Ⅱ）假設存在點E滿足題設，過E作EF∥B₁C₁交BB₁于F，過F作FG⊥A₁B于G，連接EG，則EG⊥A₁B，∠FGE就是二面角E-A₁B-A的平面角，表示出EF，利用Rt△A₁B₁B∽Rt△FGB來表示CE，從而確定E的位置．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接AB₁，∵ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，且AB=BB₁，∴A₁B⊥AB₁
又∵AC₁⊥平面A₁BD，∴A₁B⊥AC₁…∴A₁B⊥平面AB₁C₁，∴B₁C₁⊥A₁B，
又∵B₁C₁⊥BB₁，∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁
（Ⅱ）假設存在點E滿足題設，過E作EF∥B₁C₁交BB₁于F，
由（Ⅰ）知EF⊥平面ABB₁A₁，
過F作FG⊥A₁B于G，連接EG，則EG⊥A₁B∴∠FGE就是二面角E-A₁B-A的平面角
設AB=BB₁=a，∵AC₁⊥A₁D，D為AC中點，∴A1C1=

2

a，⇒B₁C₁=EF=a．∴tan∠EGF=

EF

FG

=a×

1

FG

=2

2

⇒FG=

a

2 2

設BF=x，Rt△A₁B₁B∽Rt△FGB⇒BF=

1

2

a即CE=

1

2

a．∴當E為CC₁的中點時滿足題設．

點評：本題主要考查直線與平面垂直的性質，以及線面所成角等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．