Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足（2c-a）•cosB-bcosA=0．
（1）若b=4，a+c=8，求△ABC的面積；
（2）求

3

sinA+sin(C-

π

6

)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)題中等式，結(jié)合誘導(dǎo)公式與兩角和的正弦公式，整理得sinC（2cosB-1）=0．根據(jù)sinC＞0，解出cosB=

1

2

，結(jié)合B∈（0，π）得B=

π

3

．利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，結(jié)合題中條件解出ac=16，即可算出△ABC的面積；
（2）由（1）的結(jié)論得C=

2π

3

-A，代入原式并利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，可得

3

sinA+sin(C-

π

6

)=2sin(A+

π

6

)，再根據(jù)A∈(0，

2π

3

)利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計(jì)算，可得

3

sinA+sin(C-

π

6

)的取值范圍．

解答：解：（1）∵（2c-a）•cosB-bcosA=0，
∴根據(jù)正弦定理，得（2sinC-sinA）•cosB-sinBcosA=0
整理得2sinCcosB-sin（A+B）=0，
∵在△ABC中，sin（A+B）=sinC，∴sinC（2cosB-1）=0，
由于C∈（0，π），可得sinC＞0，
∴2cosB-1=0，得cosB=

1

2

，結(jié)合B∈（0，π）得B=

π

3

．
根據(jù)余弦定理，得
b2=a2+c2-2accos

π

3

=(a+c)2-3ac，即4²=8²-3ac，解之得ac=16．
因此，△ABC的面積S=

1

2

acsinB=4

3

．
（2）由（1）得C=π-A-B=

2π

3

-A，
∴

3

sinA+sin(C-

π

6

)=

3

sinA+sin(

π

2

-A)=

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)，
∵A∈(0，

2π

3

)，可得A+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，∴sin(A+

π

6

)∈[

1

2

，1]，
由此可得

3

sinA+sin(C-

π

6

)=2sin(A+

π

6

)∈(1，2]，
即

3

sinA+sin(C-

π

6

)的取值范圍（1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的邊角關(guān)系，求角的大小并依此求三角函數(shù)式的取值范圍．著重考查了利用正余弦定理解三角形、三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．