已知數(shù)列{an}滿足:a1=a(a∈R)對(duì)于n=1,2,3…,有an+1=數(shù)學(xué)公式
(Ⅰ)當(dāng)0<an<4時(shí),證明:0<an+1<4;
(Ⅱ)若0<a<1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(Ⅲ)證明在數(shù)列{an}中,存在一項(xiàng)an0滿足an0≤3.

解:(I)當(dāng)0<an≤3時(shí),an+1=-an+4,1≤-an+4<4,∴1≤an+1<4;
當(dāng)3<an<4時(shí),an+1=an-3,0<an-3<1,∴0<an+1<1.因此0<an<4時(shí),0<an+1<4.
(II)0<a<1,a2=-a+4,a3=a2-3=-a+1,a4=-a3+4=a+3,a5=a4-3=a.
∴猜想對(duì)于任意正整數(shù)l有a4l-3=a,a4l-2=4-a,a4l-1=1-a,a4l=a+3(即{an}是周
期為4的數(shù)列).
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(i)l=1時(shí),a4l-3=a成立;
(ii)假設(shè)當(dāng)l=k∈N+時(shí),a4k-3=a成立.
則當(dāng)l=k+1時(shí),∵0<a<1,∴a4k-2=-a4k-3+4=-a+4,
a4k-1=a4k-2-3=-a+4-3=-a+1,a4k=-a4k-1+4=a+3,
a4(k+1)-3=a4k-3=a,即當(dāng)l=k+1時(shí),a41-3=a也成立.
由(i)(ii)可知對(duì)任意l∈N+,a4l-3=a.
同理可證a4l-2=4-a,a4l-1=1-a,a4l=a+3.
(III)假設(shè)對(duì)所有的n,an>3,則對(duì)所有的n,有an+1=an-3,所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)
為a,公差為-3的等差數(shù)列,所以an=a+(n-1)(-3)=(a+3)-3n,所以存在充分大的
n,使得an≤3,這與假設(shè)矛盾,∴假設(shè)不成立,∴在數(shù)列{an}中,存在一項(xiàng)an,滿足an≤3.
分析:(I)當(dāng)0<an≤3時(shí),an+1=-an+4,1≤-an+4<4,故1≤an+1<4;當(dāng)3<an<4時(shí),an+1=an-3,0<an-3<1.由此知0<an<4時(shí),0<an+1<4.
(II)0<a<1,a2=-a+4,a3=a2-3=-a+1,a4=-a3+4=a+3,a5=a4-3=a.由此猜想對(duì)于任意正整數(shù)l有a4l-3=a,a4l-2=4-a,a4l-1=1-a,a4l=a+3(即{an}是周期為4的數(shù)列).然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(III)假設(shè)對(duì)所有的n,an>3,則對(duì)所有的n,有an+1=an-3,所以an=a+(n-1)(-3)=(a+3)-3n,所以存在充分大的n,使得an≤3,這與假設(shè)矛盾.所以在數(shù)列{an}中,存在一項(xiàng)an,滿足an≤3.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列中第n+1項(xiàng)取值范圍的證明、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要注意放縮法、猜想法、數(shù)學(xué)歸納法和反證法的合理運(yùn)用.
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3+4an
12-4an
, n∈N*

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1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
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已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
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3
2
,且an=
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(1)若a1=
54
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