已知三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC與底面ABC成等角，∠CAB=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，E為PB上的點(diǎn)，PC∥截面DAE.

（1）求證：面PBC⊥底面ABC；

（2）若AB=PB，求AE與底面ABC所成角的正弦值；

 

答案：
解析：

解：要證明平面與平面垂直，只需證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線.

（1）過點(diǎn)P作PO⊥底面ABC于O，連結(jié)AO、BO、CO，

則∠PAO=∠PBO=∠PCO，PA=PB=PC，AO=BO=CO，

∴O是△ABC的外心.

∵∠CAB=90°，AB=AC，∴△ABC的外心是BC的中點(diǎn).  ∴O與D重合.

∵PO⊥底面ABC，即PD⊥底面ABC，又PD面PBC，∴面PBC⊥底面ABC；

（2）∵PC∥截面DAE，∴PC∥DE.

∵D是BC的中點(diǎn)，∴E是BC的中點(diǎn).

過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，連結(jié)AF，則EF⊥底面ABC，EF∥PD，∠EAF是AE與底面ABC所成　　    的角.

∵E是PB的中點(diǎn)，∴F是BD的中點(diǎn).

在Rt△AEF中，

.

∴.

∴AE與底面ABC所成角的正弦值為.

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩相互垂直，且PA=2
3
，PB=3，PC=2外接球的直徑等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求證：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知三棱錐P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D為AB中點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn)，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（I）求證：DM∥平面PAC；
（II）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅲ）求三棱錐M-BCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•河西區(qū)二模）如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，其中正視圖為Rt△PAC，AC=2
6
，PA=4，俯視圖也為直角三角形，另一直角邊長為2
2
．
（Ⅰ）畫出側(cè)視圖并求側(cè)視圖的面積；
（Ⅱ）證明面PAC⊥面PAB；
（Ⅲ）求直線PC與底面ABC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•黃浦區(qū)二模）已知三棱錐P-ABC的棱長都是2，點(diǎn)D是棱AP上不同于P的點(diǎn)．
（1）試用反證法證明直線BD與直線CP是異面直線．
（2）求三棱錐P-ABC的體積VP-ABC．

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