Question

已知函數
（1）若g（x）與f（x）在同一點處有相同的極值，求實數a的值；
（2）對一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3，恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）記求證：當．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知f′（x）=3x²-a，，由此求出當x=1時，g（x）有極小值g（1）=-2．由g（x）與f（x）在同一點處有相同的極值，知f（1）=-2，且f′（1）=0，從而能求出a．
（2）對一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立等價于a≤，記t（x）=2lnx++x，x＞0，則=，由此能求出實數a的取值范圍．
（3）當，等價于當≥1時，總有xlnx≤-．設F（x）=xlnx+-，x≥1，由此利用導數性質能夠證明故當．
解答：（1）解：∵，
∴f′（x）=3x²-a，，
令=0，得x=1，（x=-1舍）
當0＜x＜1時，g′（x）0．
∴當x=1時，g（x）有極小值g（1）=-2．
∵g（x）與f（x）在同一點處有相同的極值，
∴f（1）=-2，且f′（1）=0，即，
解得a=3．
（2）解：不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3轉化為：
+5x-3，
化簡，得ax≤2xlnx+x²+3，
∵x∈（0，+∞），
∴a，
∵對一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立，
∴a≤，
記t（x）=2lnx++x，x＞0，則==，
令t′（x）=0，得，解得x=1．
在（0，1）上，t′（x）＜0；在（1，+∞）上，t′（x）＞0．
故當x=1時，t（x）有極小值為4，
故a∈（-∞，4]．
（3）證明：∵g（x）=，
∴
=
=xlnx+，
∵當，
∴當≥1時，總有xlnx≤-．
設F（x）=xlnx+-，x≥1
則F′（x）=lnx+1-x，令F′（x）=0，得x=1．
當x＞1時，F′（x）＜0，F（x）是減函數，
∴F（x）=xlnx+-≤0．
故當．
點評：本題考查實數值的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質、構造法、等價轉化思想的合理運用．