Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AA₁=AB=AC=1．
（1）設(shè)M是棱BB₁的中點(diǎn)，求異面直線MC與AA₁所成的角的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)值表示）；
（2）若M是棱BB₁上的任意一點(diǎn)，求四棱錐C₁-MAA₁B₁體積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由棱柱的性質(zhì)知BB₁∥AA₁，故∠BMC為異面直線MC與AA₁所成的角，在△BCM中求得角的正切值，用反三角函數(shù)表示角；
（2）判定A₁C₁為四棱錐C₁-MAA₁B₁的高，求得底面面積的范圍，利用體積公式可求棱錐的體積的取值范圍．

解答：解：（1）∵BB₁∥AA₁，∴∠BMC為異面直線MC與AA₁所成的角，
∵，∠BAC=90°，AA₁=AB=AC=1．
∴BC=

2

，∵M(jìn)是棱BB₁的中點(diǎn)，∴MB=

1

2

，
∴tan∠BMC=2

2

，∴∠BMC=arctan2

2

；
（2）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴側(cè)棱AA₁⊥A₁C₁，又A₁C₁⊥A₁B₁，
∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，∴四棱錐C₁-MAA₁B₁的高為1，
底面AMB₁A₁的面積為S，則

1

2

=S△AA1B1≤S≤S矩形ABB1A1=1，
∴四棱錐C₁-MAA₁B₁體積V的取值范圍為[

1

6

，

1

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了異面直線所成的角及求法，考查了棱錐的體積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直棱柱的性質(zhì)判定棱錐的高．