已知a、b、c∈R+,求證:(ab+a+b+1)×(ab+bc+bc+c2)≥16abc.

答案:
解析:

  證明:綜合法:方法1∵ab+a+b+1=(a+1)(b+1).

  ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c)

  又∵a>0,b>0,c>0,

 ∴a+1≥>0,b+1≥>0,

  a+c≥>0,b+c≥

  ∴(a+c)(b+c)≥,

  (a+1)(b+1)≥>0.

  因此當(dāng)a,b,c∈R+時(shí),有

  (ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc,結(jié)論得證

  方法2分析法:

  要證(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc成立,

  只需證:(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥16ab成立.

  由于a>0,b>0,c>0.

  ∴a+1≥,b+1≥

  a+c≥ b+c≥

  ∴(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥···=16abc.

  即:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc成立.


練習(xí)冊(cè)系列答案
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1
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+
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1
a
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