已知a、b、c∈R+,求證:(ab+a+b+1)×(ab+bc+bc+c2)≥16abc.
證明:綜合法:方法1∵ab+a+b+1=(a+1)(b+1). ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c) 又∵a>0,b>0,c>0, ∴a+1≥ a+c≥ ∴(a+c)(b+c)≥ (a+1)(b+1)≥ 因此當(dāng)a,b,c∈R+時(shí),有 (ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc,結(jié)論得證 方法2分析法: 要證(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc成立, 只需證:(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥16ab成立. 由于a>0,b>0,c>0. ∴a+1≥ a+c≥ ∴(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥ 即:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc成立. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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