Question

如圖，某市擬在長為16km的道路OP的一側(cè)修建一條自行車賽道，賽道的前一部分為曲線OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asinωx（A＞0，ω＞0，x∈[0，8]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S（6，4

3

）．賽道的后一段為折線段MNP，為保證參賽隊(duì)員的安全，限定∠MNP=120°．
（1）求實(shí)數(shù)A和ω的值以及M、P兩點(diǎn)之間的距離；
（2）連接MP，設(shè)∠NPM=θ，y=MN+NP，試求出用θ表示y的解析式；
（3）（理科）應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段MNP最長？
（文科）求函數(shù)y的最大值．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合函數(shù)的圖象，推出周期的故選式，利用圖象經(jīng)過S，即可求出實(shí)數(shù)A和ω的值，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出M、P兩點(diǎn)之間的距離；
（2）連接MP，設(shè)∠NPM=θ，y=MN+NP，利用正弦定理求出MN、NP，即可求出用θ表示y的解析式；
（3）通過（2）化簡函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，結(jié)合θ的范圍，求出折線段MNP最大值，（理）說明設(shè)計(jì)方案即可．

解答：解（1）結(jié)合題意和圖象，可知

2π ω 4 =6 Asin6ω=4 3

，
解此方程組，得

ω= π 12 A=4 3

，于是y=4

3

sin 

π

12

x   x∈[0，8]．
進(jìn)一步可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為

x=8 y=4 3 sin 8π 12 =6

．
所以，MP=

(8-16)2+(6-0)2

=10（km）．
（2）在△MNP中，∠MNP=120°∠NPM=θ，故

MN

sinθ

=

NP

sin(60°-θ)

=

MP

sin120°

．
又MP=10，
因此，y=

20

3

sinθ+

20

3

sin(60°-θ)（0°＜θ＜60°）．
（3）（文）把y=

20

3

sinθ+

20

3

sin(60°-θ)進(jìn)一步化為：
y=

20

3

sin(60°+θ)（0°＜θ＜60°）．
所以，當(dāng)θ=30°時(shí) ymax=

20

3

=

20 3

3

（km）．
（理）把y=

20

3

sinθ+

20

3

sin(60°-θ)進(jìn)一步化為：
y=

20

3

sin(60°+θ)（0°＜θ＜60°）．
所以，當(dāng)θ=30°時(shí) ymax=

20

3

=

20 3

3

（km）．
可以這樣設(shè)計(jì)：連接MP，分別過點(diǎn)M、P在MP的同一側(cè)作與MP成30°角的射線，記兩射線的交點(diǎn)為N，再修建線段NM和NP，就可得到滿足要求的最長折線段MNP賽道．

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)在解三角形中的應(yīng)用，涉及正弦定理、三角函數(shù)的化簡求值，最值的求法以及函數(shù)解析式的求法，關(guān)鍵要提高邏輯推理能力．