Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分別為AD，A₁B₁，C₁C的中點(diǎn)．
（1）求證：BD₁⊥平面MNP；
（2）求A₁C與平面MNP所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD₁方向建立空間坐標(biāo)系，利用向量法，可得BD₁⊥MN，BD₁⊥MP，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到BD₁⊥平面MNP
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，

BD1

即為平面MNP的法向量，求出直線A₁C的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到A₁C與平面MNP所成角的余弦值．

解答：解：（1）以D點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD₁方向建立空間坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
∵M(jìn)，N，P分別為AD，A₁B₁，C₁C的中點(diǎn)
∴B（2，2，0），D₁（0，0，2），M（1，0，0），N（0，2，1），P（2，1，2）
則

BD1

=（-2，-2，2），

MN

=（-1，2，1），

MP

=（1，1，2）
易得

BD1

•

MN

=0，

BD1

•

MP

=0，
即BD₁⊥MN，BD₁⊥MP
則BD₁⊥平面MNP
（2）由（1）中結(jié)論，

BD1

即為平面MNP的法向量
又由A₁（2，0，2），C（0，2，0）
則

A1C

=（-2，2，-2）
設(shè)A₁C與平面MNP所成角為θ
則sinθ=|

BD1 • A1C

|BD1| • |A1C|

|=

1

3

則cosθ=

2 2

3

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系利用向量數(shù)量積為0得到線線垂直，（2）的關(guān)鍵是求出直線的方向向量和平面的法向量，將線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．