Question

已知函數(shù)，．
（1）求集合B；
（2）若；
（3）比較的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)，
∴f′（x）=x²+4ax+a，
∵x₁，x₂∈A，∴f′（x）=0有兩個實(shí)根，
∴x₁+x₂=-4a，x₁x₂=a，△=16a²-4a＞0，
∴a，或a＜0，
∵（1+x₁）（1+x₂）=1+（x₁+x₂）+x₁x₂=1-4a+a=1-3a，
（1-4a-x₁）（1-4a-x₂）=1-8a+16a²+（4a-1）（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-3a．
∵，
∴，
∴，即，
解得0＜a＜，或a≥2．
綜上所述，B={a|，或a≥2}．
（2）∵x∈Z，且x∈B，∴x≥2，∴∈（0，]，
令t=∈（0，），令R（t）=tant-t，
則=tan²t＞0，
∴R（t）在（0，）上單調(diào)遞增，
∴R（t）＞R（0）=0，∴tant-a＞0，
∴tan＞．
（3）由（2）得x≥2時，tan＞，
∵，
∴tan＞，∴，
∴，∴2012•sin′（）＞，
∴2012•＞1-，
∴2013，
∵，
∵，
∴sin＞sin．
分析：（1）由函數(shù)，f′（x）=x²+4ax+a，x₁，x₂∈A，知f′（x）=0有兩個實(shí)根，故x₁+x₂=-4a，x₁x₂=a，△=16a²-4a＞0，再由，能求出B．
（2）令t=∈（0，），令R（t）=tant-t，則=tan²t＞0，由此能夠證明tan＞．
（3）由（2）得x≥2時，tan＞，，故tan＞，，由此能夠得到sin＞sin．
點(diǎn)評：本題考查集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．