Question

（1991•云南）已知雙曲線C的實半軸長與虛半軸的乘積為

3

，C的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，直線l過F₂且與直線F₁F₂的夾角為tanψ=

21

2

，l與線段F₁F₂的垂直平分線的交點是P，線段PF₂與雙曲線C的交點為Q，且|PQ|：|QF₂|=2：1．求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析：如圖，以F₁F₂所在的直線為x軸，線段F₁F₂的垂直平分線為y軸建立直角坐標系．設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，可得直線PQ的方程為y=

21

2

(x-c)，得到點P的坐標．由線段的定比分點坐標公式得點Q的坐標，代入雙曲線的方程即可得到

b

a

．又ab=

3

，聯(lián)立即可得出．

解答：解：如圖，以F₁F₂所在的直線為x軸，線段F₁F₂的垂直平分線為y軸建立直角坐標系．
設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
直線PQ的方程為y=

21

2

(x-c)，則P(0，-

21

2

c)，
由線段的定比分點坐標公式得xQ=

0+2c

1+2

=

2c

3

，yQ=

- 21 2 c+0

1+2

=-

21

6

c．
∴(

2c

3

，-

21

6

c)．
代入雙曲線的方程得

4c2

9a2

-

21c2

36b2

=1，整理得16(

b

a

)4-41(

b

a

)2-21=0，
解得(

b

a

)2=3，或(

b

a

)2=-

7

16

．（舍去）．
∴

b

a

=

3

．又ab=

3

，
∴b=

3

，a=1．
故所求的雙曲線方程為x2-

y2

3

=1．

點評：本小題考查利用坐標法研究幾何問題的思想，線段的定比分點坐標公式，雙曲線的有關(guān)知識及綜合解題能力．