Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，BC=2，E為PC的中點，CG=

1

3

CB，
（1）求證：PC⊥BC；
（2）AD邊上是否存在一點M，使得PA∥平面MEG？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，可得PD⊥BC，BC⊥CD，結(jié)合線面垂直的判定定理可證BC⊥平面PCD，即可證PC⊥BC．
（2）連接AC，取AC中點O，連接EO、GO，延長GO交AD于點M，則PA∥平面MEG，由三角形相似可得 AM=CG=

2

3

．

解答：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，（2分）
又∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，（3分）
∵PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PCD，又∵PC?面PDC，
∴PC⊥BC．（6分）
（2）連接AC，取AC中點O，連接EO、GO，延長GO交AD于點M，則PA∥平面MEG．（8分）
證明：∵E為PC的中點，O是AC的中點，
∴EO∥平面PA，（10分）
又∵EO?平面MEG，PA?平面MEG，
∴PA∥平面MEG，（11分）
在正方形ABCD中，
∵O是AC中點，
∴△OCG≌△OAM，
∴AM=CG=

2

3

，
∴所求AM的長為 

2

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． （12分）

點評：本題主要考查線面平行與垂直關(guān)系、多面體體積計算等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能、邏輯思維能力、運算求解能力和探究能力、考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．