Question

已知點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y²=4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，-1）的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)距離之和的最小值為

5

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線(xiàn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，再由拋物線(xiàn)的定義知：當(dāng)P、Q和P在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影點(diǎn)A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，這個(gè)距離之和最小，由此求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)距離之和的最小值．

解答：解：∵拋物線(xiàn)方程為y²=4x
∴2p=4，可得焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)為x=-1
設(shè)P在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)l上的射影點(diǎn)為A點(diǎn)
則由拋物線(xiàn)的定義，可知當(dāng)P、Q、A點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，
點(diǎn)P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)距離之和最小，如圖所示
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-1，代入拋物線(xiàn)方程，
可得（-1）²=4x，得x=

1

4

，所以此時(shí)P的坐標(biāo)為（

1

4

，-1）
由此，可得這個(gè)距離之和為

1

4

+1=

5

4

故答案為：

5

4

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求該點(diǎn)到定點(diǎn)Q和焦點(diǎn)F距離之和的最小值，著重考查了拋物線(xiàn)的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．