Question

（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）

       設(shè)有拋物線C：y= –x²+x–4，通過(guò)原點(diǎn)O作C的切線y=mx，使切點(diǎn)P在第一象限．

   （1）求m的值，以及P的坐標(biāo)；

   （2）過(guò)點(diǎn)P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)Q；

   （3）設(shè)C上有一點(diǎn)R，其橫坐標(biāo)為t，為使DOPQ的面積小于DPQR的面積，試求t的取值范圍．

Answer 1

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₁， y₁），則y₁=kx₁……①，y₁= –+x₁ – 4……②，

       ①代入②，得：+（k–）x₁+4=0…………………………………………………2分

       因?yàn)辄c(diǎn)P為切點(diǎn)，所以 （k–）²–16=0，得：k=或k=……………………4分

       當(dāng)k=時(shí)x₁= －2，y₁= －17；當(dāng)k=時(shí)，x₁= 2，y₁= 1；

       因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，故所求的斜率k=，P的坐標(biāo)為 （2，1），……………6分

   （2）過(guò) P點(diǎn)作切線的垂線，其方程為：y=－2x+5……③，代入拋物線方程，得：

       x²－x+9=0，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 （x₂， y₂），則2x₂=9，所以x₂=，y₂=－4，

       所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 （，－4），………………………………………………10分

   （3）設(shè)C上有一點(diǎn)R（t，－t²+t–4），它到直線PQ的距離為：

       d==……………………………………12分

       點(diǎn)O到直線PQ的距離PO =，S_DOPQ=´PQ´OP，S_DPQR=´PQ´d，

       因?yàn)镈OPQ的面積小于DPQR的面積，S_DOPQ < S_DPQR ，

       即：OP < d，即：>5，……………………………………14分

       +4>0或+14<0

       解之得：t<或t>

       所以t的取值范圍為t<或t>．……………………………16分