如圖，在Rt△ABC中，|
PA
|=|
BC
|=a且
PA
=
1
2
PQ
，向
PQ
和
BC
的夾角θ取何值，
CP
•
BQ
的值最大？并求出這個最大值．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：三角函數(shù)的圖像與性質,平面向量及應用
分析：以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在直線為坐標軸建立如圖所示的平面直角坐標系．求出各頂點的坐標后，進而給出向量
BP
，
CQ
的坐標，然后利用平面向量的數(shù)量值運算公式，構造一個關于cosθ的式子，然后根據(jù)cosθ的取值范圍，分析出
BP
•
CQ
的最大值．
解答： 解：以直角頂點A為坐標原點，
兩直角邊所在直線為坐標軸建立如圖所示的平面直角坐標系．
設|AB|=c，|AC|=b，則A（0，0），B（c，0），C（0，b），
且|PQ|=2a，|BC|=a．
設點P的坐標為（x，y），則Q（-x，-y）．
∴
BP
=（x-c，y），
CQ
=（-x，-y-b），
BC
=（-c，b），
PQ
=（-2x，-2y）．
∴
BP
•
CQ
=（x-c）•（-x）+y（-y-b）=-（x2+y2）+cx-by=-a2+cx-by．
∵cosθ=
PQ
•BC
|
PQ
|•|
BC
|
=
cx-by
a2
．
∴cx-by=a2cosθ．
∴
BP
•
CQ
=-a2+a2cosθ．
故當cosθ=1，即θ=0（
PQ
與
BC
方向相同）時，
BP
•
CQ
最大，其最大值為0．
點評：本題主要考查向量的數(shù)量積的坐標表示和性質等概念，平面向量的運算法則，考查運用向量及三角函數(shù)的值域的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某中學在高二年級開設大學先修課程《線性代數(shù)》，共有50名同學選修，其中男同學30名，女同學20名．為了對這門課程的教學效果進行評估，學校按性別采用分層抽樣的方法抽取5人進行考核．
（I）求抽取的5人中男、女同學的人數(shù)；
（II）考核前，評估小組打算從抽取的5人中隨機選出2名同學進行訪談，求選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在某市“創(chuàng)建文明城市”活動中，對800名志愿者的年齡抽樣調查統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖（如圖），但是年齡組為[25，30）的數(shù)據(jù)不慎丟失，據(jù)此估計這800名志愿者年齡在[25，30）的人數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是（　　）
 
A、100 cm3
B、108 cm3
C、84 cm3
D、92 cm3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，|
BC
|=4，|
AB
+
AC
|=|
AB
-
AC
|，則
AM
•(
AB
+
AC
)=（　�。�
A、8B、4C、2D、1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（b＞0，a＞0）的兩條漸近線為l1，l2，過右焦點F作垂直l1的直線交l1，l2于A，B兩點，若|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

化簡：
1-sin2440°
+
1-2sin80°cos80°
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A（-1，cosθ），B（sinθ，1），若|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|（O為坐標原點），則銳角θ=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義：[x]（x∈R）表示不超過x的最大整數(shù)．例如[1.5]=1，[-0.5]=-1．給出下列結論：
①函數(shù)y=[sinx]是奇函數(shù)；
②函數(shù)y=[sinx]是周期為2π的周期函數(shù)；
③函數(shù)y=[sinx]-cosx不存在零點；
④函數(shù)y=[sinx]+[cosx]的值域是{-2，-1，0，1}．
其中正確的是
 
．（填上所有正確命題的編號）

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