Question

設(shè)x，y滿足約束條件

6x-2y-3≤0 x-y+ 1 2 ≥0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6，則

1

2a

+

3

b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最大值得到

a

6

+

b

4

=1，然后利用基本不等式求得

1

2a

+

3

b

的最小值．

解答： 解：由約束條件

6x-2y-3≤0 x-y+ 1 2 ≥0 x≥0，y≥0

作出可行域如圖，

化目標(biāo)函數(shù)z=ax+by為y=-

a

b

x+

z

b

，
聯(lián)立

x-y+ 1 2 =0 6x-2y-3=0

，解得：C（1，

3

2

）．
由圖可知，當(dāng)直線y=-

a

b

x+

z

b

過C（1，

3

2

）時(shí)目標(biāo)函數(shù)有最大值為6．
即a+

3

2

b=6．
則

a

6

+

b

4

=1．
∴

1

2a

+

3

b

=(

1

2a

+

3

b

)•(

a

6

+

b

4

)=

1

12

+

3

4

+

b

8a

+

a

2b

≥

5

6

+2

b 8a • a 2b

=

4

3

（當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)等號(hào)成立）．
故答案為：

4

3

．

點(diǎn)評：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了基本不等式求最值，是中檔題．