Question

已知函數(shù)f（x）=x++a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判斷f（x）單調(diào)性并證明；
（2）若m滿足f（3m）＞f（5-2m），試確定m的取值范圍．
（3）若函數(shù)g（x）=xf（x）對任意x∈[2，5]時(shí)，g（x）+2x+＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題得f（x）=x++a，設(shè)1≤x₁＜x₂，
則…
因?yàn)?≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0．所以f（x₁）-f（x₂）＜0 
所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．…
（2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，要滿足f（3m）＞f（5-2m），
只要1≤5-2m＜3m，得1＜m≤2 
（3）g（x）=xf（x）=x²+ax+a，由g（x）+2x+＞0得：，即 ①
因?yàn)閤∈[2，5]時(shí)，x+1∈[3，6]，那么①式可轉(zhuǎn)化為…
所以題目等價(jià)于化為在x∈[2，5]上恒成立．即a大于函數(shù)在x∈[2，5]上的最大值．
即求在x∈[2，5]上的最小值． 
令t=x+1，則t∈[3，6]，所以，由（1）得，
在t∈[3，6]，上為增函數(shù)，所以最小值為．所以-． 
分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義去證明函數(shù)的單調(diào)性．
（2）利用（1）的證明結(jié)論，利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)m的取值范．
（3）要使g（x）+2x+＞0恒成立，實(shí)質(zhì)是最值恒成立，只需求出函數(shù)g（x）+2x+的最小值即可，在求最小值的過程中可以使用基本不等式來求．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．不等式恒成立往往轉(zhuǎn)為最值恒成立．求函數(shù)的最值，可以使用導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性以及基本不等式等方法去求最值．