Question

已知雙曲線C的漸近線方程為y=±

3

x，右焦點F（c，0）到漸近線的距離為

3

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過F作斜率為k的直線l交雙曲線于A、B兩點，線段AB的中垂線交x軸于D，求證：

|AB|

|FD|

為定值．

Answer 1

分析：（1）由漸近線方程為y=±

3

x，可設(shè)雙曲線方程為3x²-y²=λ（λ＞0），由題知c=2，代入可求雙曲線方程
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）代入x2-

y2

3

=1，整理得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點P（x₀，y₀）則利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系可求x₀，y₀．利用弦長公式可表示AB，然后由AB的垂直平分線方程可求D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出FD，從而可求

解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為3x²-y²=λ（λ＞0）…（2分）
由題知c=2，∴

λ

3

+λ=4，∴λ=3…（4分）
∴雙曲線方程為：x2-

y2

3

=1…（5分）
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）代入x2-

y2

3

=1
整理得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點P（x₀，y₀）
則x0=-

2k2

3-k2

，代入l得：y0=

-6k

3-k2

…（7分）
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=…=

6(k2+1)

|3-k2|

…（8分）
AB的垂直平分線方程為y=-

1

k

(x+

2k2

3-k2

)-

6k

3-k2

…（9分）
令y=0得xD=

-8k2

3-k2

…（10分）
∴|FD|=|

-8k2

3-k2

-2|=|

-6(1+k2)

3-k2

|=

6(1+k2)

|3-k2|

…（11分）
∴

|AB|

|FD|

=1為定值．…（12分）

點評：本題主要考查了由雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程，直線與曲線相交求解弦長，解題中要善于應(yīng)用兩直線垂直得斜率之間的關(guān)系．