Question

已知{a_n}是遞增數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，a₁＞1，且10S_n=（2a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）是否存在m，n，k∈N^*，使得2（a_m+a_n）=a_k成立？若存在，寫(xiě)出一組符合條件的m，n，k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）設(shè)b_n=a_n-，c_n=，若對(duì)于任意的n∈N^*，不等式-≤0恒成立，求正整數(shù)m的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令n=1代入10S_n=（2a_n+1）（a_n+2），求得a₁的值，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，可以求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）假設(shè)存在m，n，k∈N^*，使得2（a_m+a_n）=a_k成立，代入數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n，經(jīng)過(guò)分析得出矛盾，可以得到不存在m，n，k∈N^*，使得2（a_m+a_n）=a_k成立，
（Ⅲ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n代入b_n=a_n-，c_n=，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求某個(gè)數(shù)列的最值問(wèn)題．
解答：解：（Ⅰ）∵10S_n=（2a_n+1）（a_n+3），
∴10a₁=（2a₁+1）（a₁+2），得2a₁²-5a₁+2=0，
解得a₁=2，或．
由于a₁＞1，所以a₁=2．
∵10S_n=（2a_n+1）（a_n+3），∴10S_n=2a_n²+5a_n+2．
故10a_n+1=10S_n+1-10S_n=2a_n+1²+5a_n+1+2-2a_n²-5a_n-2，
整理，得2（a_n+1²-a_n²）-5（a_n+1+a_n）=0，
即（a_n+1+a_n）[2（a_n+1-a_n）-5]=0．
因?yàn)閧a_n}是遞增數(shù)列，且a₁=2，故a_n+1+a_n≠0，
因此．
則數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
所以．

（Ⅱ）滿(mǎn)足條件的正整數(shù)m，n，k不存在，證明如下：
假設(shè)存在m，n，k∈N^*，使得2（a_m+a_n）=a_t，
則5m-1+5n-1=（5k-1）．
整理，得2m+2n-k=，①
顯然，左邊為整數(shù)，所以①式不成立．
故滿(mǎn)足條件的正整數(shù)m，n，k不存在．

（Ⅲ）b_n=a_n-，
c_n=．
不等式≤0
可轉(zhuǎn)化為
=
=．
設(shè)f（n）=，
則
=
=．
所以f（n+1）＞f（n），即當(dāng)n增大時(shí)，f（n）也增大．
要使不等式
對(duì)于任意的n∈N^*恒成立，只需≤f（n）_min即可．
因?yàn)閒（b）_min=f（1）=，所以，
即m≤．
所以，正整數(shù)m的最大值為8．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查根據(jù)求數(shù)列通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想．特別是（2）是個(gè)開(kāi)放性的題目，解決策略一般假設(shè)存在，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證得到矛盾，（3）的設(shè)置，增加了題目的難度，對(duì)于恒成立問(wèn)題，一般采取分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，體現(xiàn) 轉(zhuǎn)化的思想．并根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最值．