【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).
(1)求a,b的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)若對(duì)于任意都有f(kx2)+f(2x﹣1)>0成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】解:(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0=0,解得b=1,
f(x)=,又由f(1)=﹣f(﹣1)=,解得a=2.
(2)證明:由(1)可得:f(x)==.
x1<x2 , ∴>0,
則f(x1)﹣f(x2)==>0,
∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)在R上是減函數(shù).
(3)∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù).
∴f(kx2)+f(2x﹣1)>0成立,等價(jià)于f(kx2)>﹣f(2x﹣1)=f(1﹣2x)成立,
∵f(x)在R上是減函數(shù),∴kx2<1﹣2x,
∴對(duì)于任意都有kx2<1﹣2x成立,
∴對(duì)于任意都有k<,
設(shè)g(x)=,
∴g(x)==,
令t=,t∈[,2],
則有,,∴g(x)min=g(t)min=g(1)=﹣1
∴k<﹣1,即k的取值范圍為(﹣∞,﹣1)
【解析】(1)直接根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù),滿足f(﹣x)=﹣f(x),把x=0,和x=1代入,即可得到關(guān)于a,b的兩個(gè)等式,解方程組求出a,b的值.
(2)利用減函數(shù)的定義即可證明.
(3))f(kx2)+f(2x﹣1)>0成立,等價(jià)于f(kx2)>﹣f(2x﹣1)=f(1﹣2x),即k<成立,設(shè)g(x)= ,
換元使之成為二次函數(shù),再求最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某車間計(jì)劃每天生產(chǎn)卡車模型、賽車模型、小汽車模型這三種玩具共100個(gè),已知生產(chǎn)一個(gè)卡車模型需5分鐘,生產(chǎn)一個(gè)賽車模型需7分鐘,生產(chǎn)一個(gè)小汽車模型需4分鐘,且生產(chǎn)一個(gè)卡車模型可獲利潤(rùn)8元,生產(chǎn)一個(gè)賽車模型可獲利潤(rùn)9元,生產(chǎn)一個(gè)小汽車模型可獲利潤(rùn)6元.若總生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)10小時(shí),該公司合理分配生產(chǎn)任務(wù)使每天的利潤(rùn)最大,則最大利潤(rùn)是______________元.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】三棱錐的三組相對(duì)棱(相對(duì)的棱是指三棱錐中成異面直線的一組棱)分別相等,且長(zhǎng)分別為,其中,則該三棱錐體積的最大值為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2)若函數(shù)的圖象與直線相切,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為8cm,M,N,P分別是AB,A1D1 , BB1的中點(diǎn).
(1)畫出過(guò)M,N,P三點(diǎn)的平面與平面A1B1C1D1的交線以及與平面BB1C1C的交線;
(2)設(shè)過(guò)M,N,P三點(diǎn)的平面與B1C1交于Q,求PQ的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng):如圖,其構(gòu)成映射的是( )
A.只有①②
B.只有①④
C.只有①③④
D.只有③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)判斷直線與曲線的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若直線和曲線相交于兩點(diǎn),且,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的方程為,在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的非負(fù)關(guān)軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)將上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍和倍后得到曲線,求曲線的參數(shù)方程;
(2)若分別為曲線與直線的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最小值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中
①函數(shù)f(x)=( )x的遞減區(qū)間是(﹣∞,+∞)
②已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,1),則函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)椋?,2);
③已知(x,y)映射f下的象是(x+y,x﹣y),那么(4,2)在f下的原象是(3,1).
其中正確命題的序號(hào)為 .
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