Question

已知函數(shù)f(x)=lnx+a,其中a為大于零的常數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)求證：對(duì)于任意的n∈N^*,且n>1時(shí),都有l(wèi)nn>++…+恒成立.

Answer 1

（1）(0,1]   （2）見(jiàn)解析

(1)f′(x)=(x>0),
由已知,得f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x在[1,+∞)上恒成立,又因?yàn)楫?dāng)x∈[1,+∞)時(shí),x≥1,
所以a≤1,即a的取值范圍為(0,1].
(2)由(1)知函數(shù)f(x)=lnx+-1在[1,+∞)上為增函數(shù),
當(dāng)n>1時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050830348337.png" style="vertical-align:middle;" />>1,所以f>f(1),
即lnn-ln(n-1)>,對(duì)于n∈N^*,且n>1恒成立,
lnn=[lnn-ln(n-1)]+[ln(n-1)-ln(n-2)]+…+[ln3-ln2]+[ln2-ln 1]>++…++,所以對(duì)于n∈N^*,且n>1時(shí),lnn>++…+恒成立.