已知橢圓
x22
+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若過(guò)點(diǎn)P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．
分析：根據(jù)題意，算出直線AB方程為y=-2x-2，與橢圓方程消去x得9y2+4y-4=0．設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合配方的方法算出|y1-y2|=
4
10
9
，最后根據(jù)三角形面積公式即可算出△ABF2的面積．
解答：解：由題意，得
∵橢圓
x2
2
+y2=1的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），點(diǎn)P（0，-2）
∴直線PF1的斜率為k=-2，得直線AB方程為y=-2（x+1），化簡(jiǎn)得y=-2x-2
由
y=-2x-2
x2
2
+
y2
1
=1
消去x，可得9y2+4y-4=0，
設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），
∴y1+y2=-
4
9
，y1y2=-
4
9

因此，可得|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
4
10
9

∵橢圓的焦距為|F1F2|=2
∴△ABF2的面積為S =
1
2
|F1F2|•|y1-y2|=
4
10
9
．
點(diǎn)評(píng)：本題給出直線PF1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．著重考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與橢圓位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x22
+y2=1的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC∥x軸?求證直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x22
+y2=1的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；
（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，并且線段AB的中點(diǎn)在直線x+y=0上，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
2
+y2=1的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）若直線l的傾斜角α=
π
4
，求|AB|；
（2）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x22
+y2=1的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，上頂點(diǎn)為A，直線AF1交橢圓于B．如圖所示沿x軸折起，使得平面AF1F2⊥平面BF1F2．點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（ I ） 求三棱錐A-F1F2B的體積；
（Ⅱ）圖2中線段BF2上是否存在點(diǎn)M，使得AM⊥OB，若存在，請(qǐng)?jiān)趫D1中指出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•鐘祥市模擬）如圖，已知橢圓
x2
2
+y2=1內(nèi)有一點(diǎn)M，過(guò)M作兩條動(dòng)直線AC、BD分別交橢圓于A、C和B、D兩點(diǎn)，若|
AB
|2+|
CD
|2=|
BC
|2+|
AD
|2．

（1）證明：AC⊥BD；
（2）若M點(diǎn)恰好為橢圓中心O
（i）四邊形ABCD是否存在內(nèi)切圓？若存在，求其內(nèi)切圓方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（ii）求弦AB長(zhǎng)的最小值．

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