Question

（08年遼寧卷理）如圖,在棱長為1的正方體中,,截面,截面.

⑴證明:平面和平面互相垂直;

⑵證明:截面和截面面積之和是

定值,并求出這個值;

⑶若與平面所成的角為,求

與平面所成角的正弦值.

Answer 1

說明：本小題主要考查空間中的線面關系，面面關系，解三角形等基礎知識，考查空間想象能力與邏輯思維能力。滿分12分．

解法一：

（Ⅰ）證明：在正方體中，，，又由已知可得

，，，

所以，，

所以平面．

所以平面和平面互相垂直．??????????????????? 4分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是

，是定值．??????????????????????????????????????????????????????? 8分

（III）解：連結BC′交EQ于點M．因為，，

所以平面和平面PQGH互相平行，因此與平面PQGH所成角與與平面所成角相等．

與（Ⅰ）同理可證EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM與的比值就是所求的正弦值．

設交PF于點N，連結EN，由知

．

因為⊥平面PQEF，又已知與平面PQEF成角，

所以，即，

解得，可知E為BC中點．

所以EM=，又，

故與平面PQCH所成角的正弦值為．?????????????????????????????????????? 12分

解法二：

以D為原點，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標系D－xyz由已知得，故，，，，

，，，，，．

（Ⅰ）證明：在所建立的坐標系中，可得

，

，

．

因為，所以是平面PQEF的法向量．

因為，所以是平面PQGH的法向量．

因為，所以，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．??????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）證明：因為，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．

在所建立的坐標系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值．???????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由已知得與成角，又可得

   ，

即，解得．

所以，又，所以與平面PQGH所成角的正弦值為

．?????????????????????????????????????????????????????????? 12分