Question

雙曲線C：上一點到左，右兩焦點距離的差為2．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設F₁，F(xiàn)₂是雙曲線的左右焦點，P是雙曲線上的點，若|PF₁|+|PF₂|=6，求△PF₁F₂的面積；
（3）過（-2，0）作直線l交雙曲線C于A，B兩點，若，是否存在這樣的直線l，使OAPB為矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由雙曲線C：上一點到左，右兩焦點距離的差為2．知a=1，把點2，）代入，得b=1．由此能求出雙曲線方程．
（2）設P在第一象限，則，解得|PF₁|=4，|PF₂|=2，由此能求了△PF₁F₂的面積．
（3）若直線斜率存在，設為y=k（x+2），代入x²-y²=1，得（1-（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0（k≠±1），若平行四邊形OAPB為矩形，則OA⊥OB，由此能求出不存在直線l，使OAPB為矩形．
解答：解：（1）∵雙曲線C：上一點到左，右兩焦點距離的差為2．
∴a=1，雙曲線方程為，
把點2，）代入，得b=1．
∴雙曲線方程為：x²-y²=1．
（2）設P在第一象限，則，
解得|PF₁|=4，|PF₂|=2，
∴，
∴，
∴△PF₁F₂的面積S=．
（3）若直線斜率存在，設為y=k（x+2），代入x²-y²=1，
得（1-（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0（k≠±1），
若平行四邊形OAPB為矩形，則OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴無解．
若直線垂直x軸，則A（-2，），B（-2，）不滿足．
故不存在直線l，使OAPB為矩形．
點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關系，雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．