如圖，已知橢圓E：＝1(a>b>0)的長軸長是短軸長的2倍，且過點C(2,1)，點C關(guān)于原點O的對稱點為D.

(1)求橢圓E的方程；

(2)點P在橢圓E上，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由；

(3)平行于CD的直線l交橢圓E于M、N兩點，求△CMN面積的最大值，并求此時直線l的方程．

解：(1)∵2a＝2×2b，∴a＝2b.

∵橢圓E過點C(2,1)，

(2)依題意得D點的坐標(biāo)為(－2，－1)，且D點在橢圓E上，直線CP和DP的斜率kCP和kDP均存在．

又∵點P在橢圓E上，

∴直線CP和DP的斜率之積為定值－.

(3)∵直線CD的斜率為，CD平行于直線l，

∴設(shè)直線l的方程為y＝x＋t.

點C到直線MN的距離為：

當(dāng)且僅當(dāng)t2＝4－t2，即t2＝2時取等號，

∴△CMN面積的最大值為2，此時直線l的方程為

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（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由．

 

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（1）求橢圓的方程；

（2）證明：Q點在以為直徑的圓上；

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（1）求橢圓的方程；

（2）證明：Q點在以為直徑的圓上；

（3）試判斷直線QN與圓的位置關(guān)系．

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