Question

如圖，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求證：AE∥平面BFD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AD⊥平面ABE，AD∥BC可得BC⊥平面ABE，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AE⊥BC，根據(jù)BF⊥平面ACE，則AE⊥BF，而BC∩BF=B，滿足線面垂直的判定定理，從而證得結(jié)論；
（2）依題意可知G是AC中點(diǎn)，根據(jù)BF⊥平面ACE，則CE⊥BF，而BC=BE，從而F是EC中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理可知FG∥AE
又FG?平面BFD，AE?平面BFD，滿足線面平行的判定定理的三個條件，從而得證．
解答：解：（1）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，而AE?平面ABE則AE⊥BC（2分）
又∵BF⊥平面ACE，而AE?面ACE，則AE⊥BF，BC∩BF=B
∴AE⊥平面BCE（5分）
（2）證明：依題意可知：G是AC中點(diǎn)（6分）
∵BF⊥平面ACE，則CE⊥BF，
而BC=BE
∴F是EC中點(diǎn)（9分）
在△AEC中，F(xiàn)G∥AE
又FG?平面BFD，AE?平面BFD
∴AE∥平面BFD（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及線面平行的判定和線面垂直的性質(zhì)，同時考查了推理論證的能力，屬于中檔題．