Question

已知橢圓和橢圓的離心率相同，且點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且恰為弦的中點(diǎn)。求證：無(wú)論點(diǎn)怎樣變化，的面積為常數(shù)，并求出此常數(shù).

 

Answer 1

（1）橢圓的方程為；（2）的面積為常數(shù)．

【解析】

試題分析：（1）由題知，且，解這個(gè)方程組求得即可得橢圓的方程；（2）涉及直線與曲線的關(guān)系的問(wèn)題，多是將直線方程與曲線方程聯(lián)立再用韋達(dá)定理解決.此題中有兩個(gè)橢圓，將哪個(gè)橢圓的方程與直線方程聯(lián)立？此題意即直線與的交點(diǎn)的中點(diǎn)在上，故應(yīng)將直線方程與的方程聯(lián)立由韋達(dá)定理得中點(diǎn)坐標(biāo)，再將中點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程.然后求出三角形OAB的面積的表達(dá)式，再利用前面所得關(guān)系式化為一常數(shù)即可.

試題解析：（1）由題知，且 即，橢圓的方程為； 4分

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，必有，此時(shí)， 5分

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為、點(diǎn)，則

與橢圓聯(lián)立，得，設(shè)，

則 即 8分

又 9分

綜上，無(wú)論怎樣變化，的面積為常數(shù)． 12分

考點(diǎn)：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.