Question

定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，1），若方程3a（f（x））²+2bf（x）+c=0恰有6個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出a，b，c的關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的極值，利用數(shù)形結(jié)合即可得到a的結(jié)論．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，1），
∴f'（x）＞0的解集為（-1，1），
即f'（x）=3ax²+2bx+c＞0的解集為（-1，1），
∴a＜0，且x=-1和x=1是方程f'（x）=3ax²+2bx+c=0的兩個(gè)根，
即-1+1=-

2b

3a

=0，-1×1=

c

3a

=-1，
解得b=0，c=-3a．
∴f（x）=ax³+bx²+cx=ax³-3ax=ax（x²-3），
則方程3a（f（x））²+2bf（x）+c=0等價(jià)為3a（f（x））²-3a=0，
即（f（x））²=1，即f（x）=±1．
要使方程3a（f（x））²+2bf（x）+c=0恰有6個(gè)不同的實(shí)根，即f（x）=±1．各有3個(gè)不同的根，
∵f（x）=ax³+bx²+cx=ax³-3ax=ax（x²-3），
∴f'（x）=3ax²-3a=3a（x²-1），
∵a＜0，
∴當(dāng)f'（x）＞0得-1＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f'（x）＜0得x＜-1或x＞1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值f（1）=-2a，
當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得極小值f（-1）=2a，
∴要使使方程3a（f（x））²+2bf（x）+c=0恰有6個(gè)不同的實(shí)根，即f（x）=±1各有3個(gè)不同的根，
此時(shí)滿足f_極小（-1）＜1＜f_極大（1），
即2a＜1＜-2a，
即

a＜ 1 2 a＜- 1 2

，即a＜-

1

2

，
故答案為：a＜-

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的突破點(diǎn)．