Question

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-

2

，0)，(

2

，0)，離心率是

6

3

，直線y=t橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M，N，以線段為直徑作圓P，圓心為P．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)Q（x，y）是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)T變化時(shí)，求y的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)離心率和焦半徑求得a，進(jìn)而根據(jù)a，b和c的關(guān)系求得c，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）根據(jù)題意可知P的坐標(biāo)，根據(jù)圓P與x軸相切求得x，則圓的半徑的表達(dá)式可得，進(jìn)而求得t，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可得．
（Ⅲ）由（2）知圓P的方程，把點(diǎn)Q代入圓的方程，求得y和t的關(guān)系，設(shè)t=cosθ，利用兩角和公式化簡整理根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得y的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

c

a

=

6

3

，且c=

2

，所以a=

3

，b=

a2-c2

=1
所以橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1
（Ⅱ）由題意知p（0，t）（-1＜t＜1）
由

y=t x2 3 +y2=1

得x=±

3(1-t2)

所以圓P的半徑為

3(1-t2)

，
則有t²=3（1-t²），
解得t=±

3

2

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，±

3

2

）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圓P的方程x²+（y-t）²=3（1-t²）．因?yàn)辄c(diǎn)Q（x，y）在圓P上．所以y=t±

3(1-t2)-x2

≤t+

3(1-t2)

設(shè)t=cosθ，θ∈（0，π），則t+

3(1-t2)

=cosθ+

3

sinθ=2sin(θ+

π

6

)
當(dāng)θ=

π

3

，即t=

1

2

，且x=0，y取最大值2．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．