Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，ln2+lna_n+1=a_n+1a_n+f（a_n+1a_n）
（1）求證：ln（1+x）≤x：
（2）求證：數(shù)列{

1

an-1

}是等差數(shù)列；
（3）求證：a₁+a₂+…+a_n＜n+ln2-ln（n+2）

Answer 1

分析：（1）要證ln（1+x）≤x，只需證明f（x）≤0，利用導(dǎo)數(shù)可求得f（x）的最大值f（x）_max，則f（x）≤f（x）_max，可證；
（2）由ln2+lna_n+1=a_n+1a_n+f（a_n+1a_n）可得數(shù)列遞推式，表示出a_n+1后可得

1

an+1-1

與

1

an-1

的關(guān)系，根據(jù)等差數(shù)列的定義可作出可作出判斷；
（3）由（2）可可求得

1

an-1

，從而可得a_n，進(jìn)而可求得a₁+a₂+…+a_n，由（1）問結(jié)論可得不等式，在不等式中令x=

1

n+1

，依次進(jìn)行放縮可得結(jié)論；

解答：解：（1）由f（x）=ln（1+x）-x，得f′（x）=

1

1+x

-1=-

x

1+x

，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，y=f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，y=f（x）單調(diào)遞減，且f′（0）=0，即x=0是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，
∴f（x）=ln（1+x）-x≤f（0）=0，即ln（1+x）≤x，當(dāng)x=0時(shí)取到等號(hào)；
（2）由ln2+lna_n+1=a_n+1a_n+f（a_n+1a_n），得2a_n+1=a_n+1a_n+1，an+1=

1

2-an

，
∴an+1-1=

1

2-an

-1=

an-1

2-an

，則

1

an+1-1

=

1

an-1

-1，
∴數(shù)列{

1

an-1

}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為

1

a1-1

=-2，公差為-1，；
（3）由（2）可知

1

an-1

=-n-1，∴an=

n

n+1

=1-

1

n+1

，
∴a₁+a₂+…+a_n=1-

1

2

+1-

1

3

+…+1-

1

n+1

=n-（

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

），
又x＞0時(shí)，有x＞ln（1+x），令x=

1

n+1

＞0，則

1

n+1

＞ln(1+

1

n+1

)=ln

n+2

n+1

，
∴n-（

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

）＜n-（ln

3

2

+ln

4

3

+ln

5

4

+…+ln

n+1

n

+ln

n+2

n+1

）
=n-ln（

3

2

×

4

3

×…×

n+2

n+1

）=n-ln

n+2

2

=n+ln2-ln（n+2），
∴a₁+a₂+…+a_n＜n+ln2-ln（n+2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查不等式的證明，考查不等式與數(shù)列的綜合，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，本題綜合性強(qiáng)，能力要求高．